(1998年试题，九)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；

admin2013-12-27 69

问题 (1998年试题，九)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
试证存在x₀∈(0，1)，使得在区间[0，x₀]上以f(x₀)为高的矩形面积，等于在区间[x₀，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；

选项

答案(1)根据题意，假如存在满足条件的x₀∈(0，1)，即有[*]显然此式等价于要求函数[*]在(0，1)区间内有零点，循此思路，构造辅助函数[*]及F₂^’(x)=F₁(x)则可验证可取[*]又F₂(0)=F₂(1)=0，则由罗尔定理知，存在x₀∈(0，1)，使F₂^’(x₀)=F₁(x₀)=0，则结论(1)证毕．

解析

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