2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时 |f(x)|≤M0， |f"’(x)|≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f”(x)在(0，+∞)上有界．

设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时 |f(x)|≤M0， |f"’(x)|≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f”(x)在(0，+∞)上有界．

admin2017-07-28  59
问题 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时
    |f(x)|≤M0，  |f"’(x)|≤M3，
其中M0，M3为非负常数，求证f”(x)在(0，+∞)上有界．
选项
答案分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 [*] 两式相加并移项即得 [*] 2)当0＜x≤1时对f”(x)用拉格朗日中值定理，有 f”(x)=f”(x)一f”(1)+f”(1)=f"’(ξ)(x一1)+f”(1)，其中ξ∈(x，1)． |f”(x)|≤|f"’(ξ)||x一1|+|f”(1)|≤M3+|f”(1)|(x∈(0，1])． 综合即知f”(x)在(0，+∞)上有界．
解析
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考研数学一

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