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设随机变量X1,X2,X3相互独立,且均服从参数为λ(λ>0)的指数分布,X=min{X1,X2},Y的分布律为P{Y=-1}=1/3,P{Y=1}=2/3,且X与Y相互独立.记T=max{X,X3}. 求Z=XY的概率密度fZ(z);
设随机变量X1,X2,X3相互独立,且均服从参数为λ(λ>0)的指数分布,X=min{X1,X2},Y的分布律为P{Y=-1}=1/3,P{Y=1}=2/3,且X与Y相互独立.记T=max{X,X3}. 求Z=XY的概率密度fZ(z);
admin
2023-01-04
20
问题
设随机变量X
1
,X
2
,X
3
相互独立,且均服从参数为λ(λ>0)的指数分布,X=min{X
1
,X
2
},Y的分布律为P{Y=-1}=1/3,P{Y=1}=2/3,且X与Y相互独立.记T=max{X,X
3
}.
求Z=XY的概率密度f
Z
(z);
选项
答案
先求X的概率密度. 记X的分布函数为F
X
(x),则当x≤0时,F
X
(x)=0;当x>0时,有 F
X
(x)=P{min{X
1
,X
2
}≤x}=1-P{X
1
>x,X
2
>x} =1-P{X
1
>x}·P{X
2
>x}=1-e
-λx
·e
-λx
=1-e
-2λx
, 故X的概率密度为 [*] Z的分布函数为 F
z
(z)=P{XY≤z}=P{XY≤z,Y=-1}+P{XY≤z,Y=1} =P{X≥-z,Y=-1}+P{X≤z,Y=1} =P{X≥-z}·P{Y=-1}+P{X≤z}·P{Y=1} =[*][1-F
X
(-z)]+[*]F
X
(z), 故f
Z
(z)=F’
Z
(z)=[*]f
X
(-z)+[*]f
X
(z) 当z<0,即-z>0时,有f
X
(-z)=2λe
2λz
,f
X
(z)=0. 当z>0,即-z<0时,有f
X
(z)=2λe
-2λz
,f
X
(-z)=0. 当z=0时,f
Z
(z)=0.所以 f
Z
(z)=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7YgD777K
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考研数学一
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