设随机变量X1,X2,X3相互独立,且均服从参数为λ(λ>0)的指数分布,X=min{X1,X2},Y的分布律为P{Y=-1}=1/3,P{Y=1}=2/3,且X与Y相互独立.记T=max{X,X3}. 求Z=XY的概率密度fZ(z);

admin2023-01-04  8

问题 设随机变量X1,X2,X3相互独立,且均服从参数为λ(λ>0)的指数分布,X=min{X1,X2},Y的分布律为P{Y=-1}=1/3,P{Y=1}=2/3,且X与Y相互独立.记T=max{X,X3}.
求Z=XY的概率密度fZ(z);

选项

答案先求X的概率密度. 记X的分布函数为FX(x),则当x≤0时,FX(x)=0;当x>0时,有 FX(x)=P{min{X1,X2}≤x}=1-P{X1>x,X2>x} =1-P{X1>x}·P{X2>x}=1-e-λx·e-λx=1-e-2λx, 故X的概率密度为 [*] Z的分布函数为 Fz(z)=P{XY≤z}=P{XY≤z,Y=-1}+P{XY≤z,Y=1} =P{X≥-z,Y=-1}+P{X≤z,Y=1} =P{X≥-z}·P{Y=-1}+P{X≤z}·P{Y=1} =[*][1-FX(-z)]+[*]FX(z), 故fZ(z)=F’Z(z)=[*]fX(-z)+[*]fX(z) 当z<0,即-z>0时,有fX(-z)=2λe2λz,fX(z)=0. 当z>0,即-z<0时,有fX(z)=2λe-2λz,fX(-z)=0. 当z=0时,fZ(z)=0.所以 fZ(z)=[*]

解析
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