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设F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)= 一1,f(0)=1,证明:f(x)=ex或f(x)=e一x。
设F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)= 一1,f(0)=1,证明:f(x)=ex或f(x)=e一x。
admin
2018-08-06
36
问题
设F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是
的一个原函数且F(x)G(x)= 一1,f(0)=1,证明:f(x)=e
x
或f(x)=e
一x
。
选项
答案
证:(1)F(x).G(x)=一1, F′(x)G(x)+F(x)G′(x)=0 [*]f(x)G(x)+F(x)[*]=0。 [*]f(x)[*]+F(x)[*]=0。 [*]F
2
(x)=f
2
(x)。 (2)讨论,(i)若F(x)=f(x),即 f(x)=f′(x),[*]=1 lnf(x)=x+C
1
,f(x)=Ce
x
由f(0)=1,得C=1 故有f(x)=e
x
(ii)若F(x)= 一f(x),即f(x)=一f′(x) [*]lnf(x)=一x+C
2
,f(x)=Ce
—x
由f(0)=1,得C=1。 故有f(x)=e
—x
证毕。
解析
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0
数学
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