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  3. 设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)= 一1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e一x。

设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)= 一1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e一x。

admin2018-08-06  22
问题 设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)= 一1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e一x。
选项
答案证：(1)F(x).G(x)=一1， F′(x)G(x)+F(x)G′(x)=0 [*]f(x)G(x)+F(x)[*]=0。 [*]f(x)[*]+F(x)[*]=0。 [*]F2(x)=f2(x)。 (2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即 f(x)=f′(x)，[*]=1 lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=ex (ii)若F(x)= 一f(x)，即f(x)=一f′(x) [*]lnf(x)=一x+C2，f(x)=Ce—x 由f(0)=1，得C=1。 故有f(x)=e—x证毕。
解析
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