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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f(a+b/2)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f(a+b/2)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).
admin
2021-10-18
55
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f(a+b/2)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).
选项
答案
不妨设f(a)>0,f(b)>0,f(a+b/2)<0,令φ(x)=e
-x
f(x),则φ’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)].因为φ(a)>0,φ(a+b/2)<0,φ(b)>0,所以存在ξ
1
∈(a,a+b/2),ξ
2
∈(a+b/2,b).使得φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,即e
-ξ
[f’(ξ)-f(ξ)]=0,因为e
-ξ
≠0,所以f’(ξ)=f(ξ).
解析
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考研数学二
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