（Ⅰ）比较 ∫01ln t| [ln（1+t）n]dt与∫01tn|Int|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|ln t|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限

admin2017-01-21 77

问题（Ⅰ）比较 ∫₀¹ln t| [ln（1+t）ⁿ]dt与∫₀¹tⁿ|Int|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。
（Ⅱ）记u_n=∫₀¹|ln t|[ln（1+t）]ⁿdt（n=1，2，…），求极限

选项

答案（Ⅰ）令f（t）=In（1+t）—t。当0≤t≤1时，f’（t）=[*]一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0）=0，即当0≤t≤1时， [ln（2+t）]ⁿ≤ tⁿ（n=1，2，…）。又由 llnt I≥ 0得 ∫₀^xf|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ|lnt|dt（n=1，2，…）。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤u_n=∫₁^x |lnt|[ln（1+t）]ⁿdt≤ ∫₀^xtⁿ|lnt|dt，因为 ∫₀¹ lnt| dt=一∫₀^xtⁿ（lnt）dt [*]

解析

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考研数学三

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