已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数，则fn(x)为( )．

admin2022-10-13 27

问题已知函数f(x)具有任意阶导数，且f^’(x)=[f(x)]²，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数，则fⁿ(x)为( )．

选项 A、n![f(x)]ⁿ⁺¹
B、n[f(x)]ⁿ⁺¹
C、[f(x)]²ⁿ
D、n![f(x)]²ⁿ

答案A

解析为方便记y=f(x)，由y^’=y²，逐次求导得
y^’’=2yy^’=2y³，y^’’’=3!y²y^’=3!y⁴，…，归纳可证y⁽ⁿ⁾=n!yⁿ⁺¹．应选(A)．

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