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设α1,α2,α3,…,αm与β1,β2,β3，…βs为两个n维向量组，且r(α1,α2,α3,…,αm)=r(β1,β2,β3，…βs)=r,则( )。
设α1,α2,α3,…,αm与β1,β2,β3，…βs为两个n维向量组，且r(α1,α2,α3,…,αm)=r(β1,β2,β3，…βs)=r,则( )。
admin
2021-11-25
28
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,…,α
m
与β
1
,β
2
,β
3
，…β
s
为两个n维向量组，且r(α
1
,α
2
,α
3
,…,α
m
)=r(β
1
,β
2
,β
3
，…β
s
)=r,则( )。
选项
A、两个向量组等价
B、r(α
1
,α
2
,α
3
,…,α
m
,β
1
,β
2
,β
3
，…β
s
)=r
C、若向量组α
1
,α
2
,α
3
,…,α
m
可由β
1
,β
2
,β
3
，…β
s
线性表示，则两向量组等价
D、两向量组构成的矩阵等价
答案
C
解析
不妨设向量组α
1
,α
2
,α
3
,…,α
m
的极大线性无关组为α
1
,α
2
,α
3
,…,α
r
，向量组β
1
,β
2
,β
3
，…β
s
的极大线性无关组为β
1
,β
2
,β
3
，…β
r
,若α
1
,α
2
,α
3
,…,α
m
可由β
1
,β
2
,β
3
，…β
s
线性表示，则α
1
,α
2
,α
3
,…,α
r
也可由β
1
,β
2
,β
3
，…β
r
线性表示，若β
1
,β
2
,β
3
，…β
r
不可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
r
线性表示，则β
1
,β
2
,β
3
，…β
s
也不可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
m
线性表示，所以两向量组秩不相等，矛盾，选C.
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