2. 考研
  3. (I)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点． (Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F′x (x0，y0)=0，F′y (x0，y0)＞0，F″xx (x0，y0)＜0．

(I)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点． (Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F′x (x0，y0)=0，F′y (x0，y0)＞0，F″xx (x0，y0)＜0．

admin2019-01-25  59
问题 (I)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点．
(Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F′x (x0，y0)=0，F′y (x0，y0)＞0，F″xx (x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，求证y(x)以x=x0为极小值点．
选项
答案(I)先求y(0)：由x=arctant知，x=0 <=> t=0，x>0(<0) <=> t>0(<0)．由y=ln(1一t2)一siny知，x=0 <=> y=一siny <=> y=0(y+siny[*])．因此y(0)=0，下面求[*]并判断它在x=0邻域的正负号． 为求[*]，需先求[*]．由参数方程得 [*] 于是[*] 其中δ>0是充分小的数．因此x=0是y=f(x)的极大值点． (Ⅱ)由隐函数求导法知y’(x)满足 [*] 令x=x0，相应地y=y0，由F’x(x0，y0)=0，F’y(x1，y0)≠0得y’(x0)=0．将上式再对x求导， 并注意y=y(x)即得 [*] 再令x=x0，相应地y=y0，y’(x0)=0，得 [*] 因[*] 因此x=x0是y=y(x)的极小值点．
解析
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考研数学一

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