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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2,证明:|∫02f(x)dx|≤2.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2,证明:|∫02f(x)dx|≤2.
admin
2017-08-31
13
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f
’
(x)|≤2,证明:|∫
0
2
f(x)dx|≤2.
选项
答案
由微分中值定理得f(x)一f(0)=f
’
(ξ
1
)x,其中0<ξ
1
<x,f(x)一f(2)=f
’
(ξ
2
)(x一2),其中x<ξ
2
<2,于是[*]从而|∫
0
2
f(x)dx|≤∫
0
2
|f(x)|dx=∫
0
1
|f(x)|dx+∫
1
2
|f(x)|dx)≤∫
0
1
2xdx+∫
1
2
2(2一x)dx=2.
解析
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0
考研数学一
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