(Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…x=1(n为大于1的整数)在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限。

admin2018-04-14  40

问题 (Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…x=1(n为大于1的整数)在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限。

选项

答案(Ⅰ)令f(x)=xn+xn-1+…-+x-1,则f(1)>0。因 f(1/2) [*] =-(1/2)n<0, 由零点定理得f(x)=xn+xn-1+…+x-1在(1/2,1)上至少存在一个零点,则方程xn+xn-1+…+x-1在区间(1/2,1)内至少有一个实根。 又f’(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+2x+1>1>0,即f(x)=xn+xn-1+…+x-1在(1/2,1)上是单调递增的,可知f(x)=xn+xn-1+…+x-1在(1/2,1)内最多只有一个零点。 故方程xn+xn-1+…+x=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根。 (Ⅱ)由于f(xn)=0,可知 xnn+xnn-1+…+xn-1=0,(1) 进而有xn+1n+1+xn+1n+…+xn+1-1=0,由于xn+1n+1>0,则 xn+1n+xn+1n-1+…+xn+1-1<0,(2) 比较(1)式与(2)式可知xn+1<xn,故{xn}单调递减。 又由于1/2<xn<1,{xn}是有界的。由单调有界收敛定理可知,[*]xn存在。 假设[*]xn=a,可知口<x2<x1=1。由等比数列求和公式,当n→∞时, [*]

解析
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