设f(x)为偶函数,且满足f’(x)+2f(x)一3∫0xf(t—x)dt=一3x+2,求f(x).

admin2019-03-12  45

问题 设f(x)为偶函数,且满足f’(x)+2f(x)一3∫0xf(t—x)dt=一3x+2,求f(x).

选项

答案0xf(t—x)dt=一∫0xf(t一x)d(x一t)=一∫x0f(-u)du=∫0x(u)du, 则有f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=一3x+2,因为f(x)为偶函数,所以f’(x)是奇函数, 于是f’(0)=0,代入上式得f(0)=1. 将f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=一3x+2两边对x求导数得 f"(x)+2f’(x)一3f(x)=一3, 其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1,将初始条件代入得f(x)=1.

解析
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