根据k的不同的取值情况，讨论方程x3－3x+k=0实根的个数。

admin2017-11-30 58

问题根据k的不同的取值情况，讨论方程x³－3x+k=0实根的个数。

选项

答案令 f(x)=x³－3x+k，x∈R，令f’(x)=3x²－3=0，解得驻点x=－1，x=1，函数的单增区间为(－∞，－1)，(1，+∞)，单减区间为[－1，1]，因此该函数至多有三个根。因为函数f(x)连续，根据零点定理， f(－∞)＜0，f(－1)=2+k，f(1)=k－2，f(+∞)＞0。 k＜－2时，f(－1)＜0，f(1)＜0，函数在(1，+∞)上存在唯一一个根；－2＜k＜2时，f(－1)＞0，f(1)＜0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根； k＞2时，f(－1)＞0，f(1)＞0，函数在(－∞，－1)存在唯一一个根； k=－2时，f(－1)=0，f(1)＜0，方程在x=－1处和(1，+∞)内各有一个根，共两个根； k=2时，f(－1)＞0，f(1)=0，方程在x=1处和(－∞，－1)内各有一个根，共两个根。综上所述，k<－2或k＞2，方程有且仅有一个根；－2＜k＜2，方程有三个根；k=±2，方程有两个根。

解析

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考研数学三

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