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设A为3阶实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,且矩阵A-6E不可逆。 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A-6E)x=0的通解: (Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型XTAx化为标准形;
设A为3阶实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,且矩阵A-6E不可逆。 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A-6E)x=0的通解: (Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型XTAx化为标准形;
admin
2017-11-30
90
问题
设A为3阶实对称矩阵,α
1
=(1,-1,-1)
T
,α
2
=(-2,1,0)
T
是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,且矩阵A-6E不可逆。
(Ⅰ)求齐次线性方程组(A-6E)x=0的通解:
(Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型X
T
Ax化为标准形;
(Ⅲ)求(A-3E)
100
。
选项
答案
(Ⅰ)因为矩阵A-6E不可逆,所以λ=6是矩阵A的一个特征值;另一方面,因为α
1
,α
2
是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,所以A的特征值为0,0,6。 齐次线性方程组(A-6E)x=0的通解是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵,从而属于不同特征值的特征向量正交。 设α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
是矩阵A的属于特征值λ=6的一个特征向量,则 (α
1
,α
3
)=0,(α
2
,α
3
)=0, 解得α
3
=(-1,-2,1)
T
,所以齐次线性方程组(A-6E)x=0的通解为kα
3
,k为任意常数。 (Ⅱ)下面将向量组α
1
,α
2
,α
3
正交化。令 [*] 下面将向量组β
1
,β
2
,β
3
单位化。令 [*] 则二次型x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为6y
3
2
。 [*]
解析
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考研数学三
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