2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆。 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解： (Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型XTAx化为标准形；

设A为3阶实对称矩阵，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆。 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解： (Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型XTAx化为标准形；

admin2017-11-30  79
问题 设A为3阶实对称矩阵，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆。
    (Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解：
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型XTAx化为标准形；
    (Ⅲ)求(A－3E)100。
选项
答案(Ⅰ)因为矩阵A－6E不可逆，所以λ=6是矩阵A的一个特征值；另一方面，因为α1，α2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。 齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。 设α3=(x1，x2，x3)T是矩阵A的属于特征值λ=6的一个特征向量，则 (α1，α3)=0，(α2，α3)=0， 解得α3=(－1，－2，1)T，所以齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解为kα3，k为任意常数。 (Ⅱ)下面将向量组α1，α2，α3正交化。令 [*] 下面将向量组β1，β2，β3单位化。令 [*] 则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为6y32。 [*]
解析
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考研数学三

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