2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且 Aα1=α1一α2+3α3， Aα2=4α1一3α2+5α3， Aα3=0． 求矩阵A的特征值和特征向量．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且 Aα1=α1一α2+3α3， Aα2=4α1一3α2+5α3， Aα3=0． 求矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-10-26  48
问题 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且
Aα1=α1一α2+3α3，  Aα2=4α1一3α2+5α3，  Aα3=0．
求矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案由Aα3=0=0α3，知λ=0是A的特征值，α3是λ=0的特征向量． 由已知条件，有 A(α1，α2，α3)=(α1一α2+3α3，4α1一3α2+5α3，0) =(α1，α2，α3)[*] 记P=(α1，α2，α3)，由α1，α2，α3线性无关，知矩阵P可逆，进而 P－1AP=B， 其中B=[*] 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式 [*] 所以矩阵A的特征值是：一1，一1，0． 对于矩阵B， [*] 所以矩阵B关于特征值λ=－1的特征向量是β=(一2，1，1)T． 若Bβ=λβ，即(P－1AP)β=λβ，亦即A(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ=－1的特征向量是 Pβ=(α1，α2，α3)[*]=－2α1+α2+α3． 因此K1(一2α1+α2+α3)，K2α3分别是矩阵A关于特征值λ=一1和λ=0的特征向量，(K1K2≠0)．
解析
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考研数学一

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