2. 考研
  3. 证明下列命题： 若f(x)在[0，+∞)上连续，且f(x)＞0，则φ(x)=为(0，+∞)上的严格增函数，如果要使φ(x)在[0，+∞)上为严格增，试问应补充定义φ(0)=?

证明下列命题： 若f(x)在[0，+∞)上连续，且f(x)＞0，则φ(x)=为(0，+∞)上的严格增函数，如果要使φ(x)在[0，+∞)上为严格增，试问应补充定义φ(0)=?

admin2022-11-23  11
问题 证明下列命题：
若f(x)在[0，+∞)上连续，且f(x)＞0，则φ(x)=为(0，+∞)上的严格增函数，如果要使φ(x)在[0，+∞)上为严格增，试问应补充定义φ(0)=?
选项
答案由题设，可得∫0xf(t)dt＞0，x∈(0，+∞)．因此φ(x)在(0，+∞)内可微，且 [*] 由f(t)＞0，t∈[0，x]知，函数(x-t)f(t)在[0，x]上非负，且不恒为零，所以∫0x(x-t)f(t)dt＞0，从而φ’(x)＞0，x∈(0，+∞)．故φ(x)为(0，+∞)内的严格增函数．因 [*] 所以补充φ(0)=0，使函数φ(x)成为[0，+∞)上的连续函数，再由φ’(x)＞0(x＞0)，可得φ(x)在[0，+∞)上严格增．
解析
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考研数学三

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