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证明下列命题: 若f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)>0,则φ(x)=为(0,+∞)上的严格增函数,如果要使φ(x)在[0,+∞)上为严格增,试问应补充定义φ(0)=?
证明下列命题: 若f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)>0,则φ(x)=为(0,+∞)上的严格增函数,如果要使φ(x)在[0,+∞)上为严格增,试问应补充定义φ(0)=?
admin
2022-11-23
11
问题
证明下列命题:
若f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)>0,则φ(x)=
为(0,+∞)上的严格增函数,如果要使φ(x)在[0,+∞)上为严格增,试问应补充定义φ(0)=?
选项
答案
由题设,可得∫
0
x
f(t)dt>0,x∈(0,+∞).因此φ(x)在(0,+∞)内可微,且 [*] 由f(t)>0,t∈[0,x]知,函数(x-t)f(t)在[0,x]上非负,且不恒为零,所以∫
0
x
(x-t)f(t)dt>0,从而φ’(x)>0,x∈(0,+∞).故φ(x)为(0,+∞)内的严格增函数.因 [*] 所以补充φ(0)=0,使函数φ(x)成为[0,+∞)上的连续函数,再由φ’(x)>0(x>0),可得φ(x)在[0,+∞)上严格增.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8JgD777K
0
考研数学三
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