求证:eχ+e-χ+2cosχ=5恰有两个根.

admin2016-10-21  17

问题 求证:eχ+e-χ+2cosχ=5恰有两个根.

选项

答案即证f(χ)=eχ+e-χ+2cosχ-5在(-∞,+∞)恰有两个零点.由于 f′(χ)=eχ-e-χ-2sinχ, f〞(χ)=eχ+e-χ-2cosχ>2-2cosχ≥0 (χ≠0), 因此f(χ)在(-∞,+∞)[*]. 又f′(0)=0[*]f(χ)在(-∞,0]单调下降,在[0,+∞)单调上升. 又f(0)=-1<0,[*]f(χ)=+∞,因此f(χ)在(-∞,0)与(0,+∞)各[*]唯一零点,即在(-∞,+∞)恰有两个零点.

解析
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