求证：eχ＋e－χ＋2cosχ＝5恰有两个根．

admin2016-10-21 37

问题求证：e^χ＋e^－χ＋2cosχ＝5恰有两个根．

选项

答案即证f(χ)＝e^χ＋e^－χ＋2cosχ－5在(－∞，＋∞)恰有两个零点．由于 f′(χ)＝e^χ－e^－χ－2sinχ， f〞(χ)＝e^χ＋e^－χ－2cosχ＞2－2cosχ≥0 (χ≠0)，因此f(χ)在(－∞，＋∞)[*]．又f′(0)＝0[*]f(χ)在(－∞，0]单调下降，在[0，＋∞)单调上升．又f(0)＝－1＜0，[*]f(χ)＝＋∞，因此f(χ)在(－∞，0)与(0，＋∞)各[*]唯一零点，即在(－∞，＋∞)恰有两个零点．

解析

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考研数学二

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[*]
求
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设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。试证：存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
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