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设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证:存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证:存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
admin
2022-10-08
73
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
试证:存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积,等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
选项
答案
证法一: 设F(x)=x∫
x
1
f(t)dt,则F(0)=F(1)=0,且F’(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x).对F(x)在区间[0,1]上应用罗尔定理知,存在一点x
0
∈(0,1),使得F’(x
0
)=0因而 [*]f(x)dx-x
0
f(x
0
)=0 即矩形面积x
0
f(x
0
)等于曲边梯形面积[*]f(x)dx. 证法二: 设在区间(a,1)(a≥[*])内取x
1
,若在区间[x
1
,1]上,f(x)=0,则(x
1
,1)内任一点都可作为x
0
,否则可设f(x
2
)>0为连续函数f(x)在区间[x
1
,1]上的最大值,x
2
∈[x
1
,1]在区间[0,x
2
]上,作辅助函数 ψ(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x) 则ψ(x)连续,且ψ(0)>0,又 ψ(x
2
)=[*]f(t)dt-x
2
f(x
2
)≤(1-2x
2
)f(x
2
)<0 因而由闭区间上连续函数的介值定理,存在一点x
0
∈(0,x
2
)[*](0,1)使得ψ(x
0
)=0即 [*]f(t)dt=x
0
f(x
0
)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DYR4777K
0
考研数学三
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