2. 考研
  3. 设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证：存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证：存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

admin2022-10-08  49
问题 设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
试证：存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
选项
答案证法一： 设F(x)=x∫x1f(t)dt,则F(0)=F(1)=0,且F’(x)=∫x1f(t)dt－xf(x).对F(x)在区间[0,1]上应用罗尔定理知，存在一点x0∈(0,1),使得F’(x0)=0因而 [*]f(x)dx－x0f(x0)=0 即矩形面积x0f(x0)等于曲边梯形面积[*]f(x)dx. 证法二： 设在区间(a,1)(a≥[*])内取x1,若在区间[x1，1]上，f(x)=0,则(x1,1)内任一点都可作为x0，否则可设f(x2)＞0为连续函数f(x)在区间[x1,1]上的最大值，x2∈[x1,1]在区间[0,x2]上，作辅助函数 ψ(x)=∫x1f(t)dt－xf(x) 则ψ(x)连续，且ψ(0)＞0,又 ψ(x2)=[*]f(t)dt－x2f(x2)≤(1－2x2)f(x2)＜0 因而由闭区间上连续函数的介值定理，存在一点x0∈(0,x2)[*]（0，1）使得ψ(x0)=0即 [*]f(t)dt=x0f(x0)
解析
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考研数学三

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