首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证:存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。 试证:存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
admin
2022-10-08
57
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。
试证:存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积,等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。
选项
答案
证法一: 设F(x)=x∫
x
1
f(t)dt,则F(0)=F(1)=0,且F’(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x).对F(x)在区间[0,1]上应用罗尔定理知,存在一点x
0
∈(0,1),使得F’(x
0
)=0因而 [*]f(x)dx-x
0
f(x
0
)=0 即矩形面积x
0
f(x
0
)等于曲边梯形面积[*]f(x)dx. 证法二: 设在区间(a,1)(a≥[*])内取x
1
,若在区间[x
1
,1]上,f(x)=0,则(x
1
,1)内任一点都可作为x
0
,否则可设f(x
2
)>0为连续函数f(x)在区间[x
1
,1]上的最大值,x
2
∈[x
1
,1]在区间[0,x
2
]上,作辅助函数 ψ(x)=∫
x
1
f(t)dt-xf(x) 则ψ(x)连续,且ψ(0)>0,又 ψ(x
2
)=[*]f(t)dt-x
2
f(x
2
)≤(1-2x
2
)f(x
2
)<0 因而由闭区间上连续函数的介值定理,存在一点x
0
∈(0,x
2
)[*](0,1)使得ψ(x
0
)=0即 [*]f(t)dt=x
0
f(x
0
)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DYR4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设函数问f(x)在x=1处是否连续?若不连续,修改f(x)在x=1处的定义,使之连续.
设函数f(x)在x=a可导,且f(a)≠0,则
求函数的极值.
设A为n阶方阵(n≥2),A*是A的伴随矩阵,试证:当r(A)=n-1时,r(A*)=1;
设函数y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数,求
设u=f(x,y,z)具有连续的一阶偏导数,又y=y(x),z=z(x)分别由exy-xy=2和所确定,求
设z=f[cos(x2+y2)一1,ln(1+x2+y2)],其中f有连续的一阶偏导数,则
求由曲线y=4一x2与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积.
设有微分方程y’-2y=φ(x),其中试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.
随机试题
(2013年4月,2010年10月,2009年10月,2009年4月)1956年,陈云在中共八大上提出了________的思想。
Conversationbeginsalmostthemomentwecomeintocontactwithanotherandcontinuesthroughouttheday【C1】______theaidofcel
Yettheseglobaltrendshidestarklydifferentnationalandregionalstories.VittorioColao,thebossofVodafone,whichoperat
为得到高信噪比的图像,应选择
健康是身体上、_______和_______的完好状态,而不仅是没有疾病和虚弱。
下列对疾病定义的描述中,不正确的是
A.罚款B.责令改正C.通报批评D.吊销执业证书E.暂停执业活动医师判断患者为非正常死亡但未按照规定报告,应给予的行政处罚是()
属于物业管理企业运行机制的是()。
在企业中,出于内源性动机的员工着重的是( )。
Thispassagegivesageneraldescriptionofwhyrecessionsoccurandhowtheymakeacountry’seconomyworse.Thevalueofgood
最新回复
(
0
)