设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足。证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).tanξ。

admin2017-03-15  73

问题 设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足。证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).tanξ。

选项

答案由f(x)在区间[a,b]上可导,知f(x)在区间[a,b]上连续,从而F(x)=f(x)cosx在[a,[*]]上连续,由积分中值定理可知存在一点c∈[*]使得 [*] 在[c,b]上,由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(c,b)[*](a,b),使 F’(ξ)=f’(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0, 即 f’(ξ)=f(ξ)tanξ,ξ∈(a,b)。

解析
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