设A是n阶正交矩阵,λ是A的实特征值,α是相应的特征向量.证明λ只能是±1,并且α也是AT的特征向量.

admin2016-10-26  31

问题 设A是n阶正交矩阵,λ是A的实特征值,α是相应的特征向量.证明λ只能是±1,并且α也是AT的特征向量.

选项

答案按特征值定义,对于Aα=λα,经转置得 αTAT=(Aα)T=(λα)T=λαT, 因为ATA=E,从而αTα=αTATAα=(λαT)(λα)=λ2αTα,则(1一λ2Tα=0. 因为α是实特征向量,αTα=[*]>0,可知λ2=1,由于λ是实数,故只能是1或一1. 若λ=1,从Aα=α,两边左乘AT,得到ATα=ATAα=α,即α是AT关于λ=1的特征向量.

解析
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