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[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中 证明行列式∣A∣=(n+1)an
[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中 证明行列式∣A∣=(n+1)an
admin
2019-05-10
27
问题
[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中
证明行列式∣A∣=(n+1)a
n
选项
答案
可用命题2.1.1.3,也可用归纳法或行列式性质证之 证一 利用三对称行列式的结论证之.由命题2.1.1.3知 [*] =(n+1)a
n
. 故 ∣A∣=∣A
T
∣=(n+1)a
n
. 证二 用数学归纳法证之.当n=1时,∣A∣=∣2a∣=2a=(1+1)a
1
=2a,结论成立. 当n=2时,∣A∣=[*]=3a
2
,结论也成立. 假设结论对n-2,n-1阶行列式成立,则 ∣A∣
n-2
=(n一1)a
n-2
, ∣A∣
n-1
=na
n-1
. 将∣A∣按第1行展开,得到 ∣A∣
n
=2a∣A∣
n-1
一a
2
∣A∣
n-2
=2a·na
n-1
一a
2
·(n-1)a
n-2
=(n+1)a
n
, 即结论对n阶行列式仍成立.由数学归纳法原理知,对任何正整数n都有∣A∣=(n+1)a
n
. 证三 为方便计,令D
n
=∣A∣.将其按第1行展开,得到D
n
=2aD
n-1
一a
2
D
n-2
,即 D
n
一aD
n-1
=aD
n-1
一a
2
D
n-2
=a(D
n-1
一aD
n-2
) =a·a(D
n-2
一aD
n-3
)=a
2
(D
n-2
一aD
n-3
)=… =a
n-2
(D
2
一aD
1
)=a
n
. 故 D
n
=a
n
+aD
n-1
=a
n
+a(a
n-1
+aD
n-2
)=2a
n
+a
2
D
n-2
=… =(n一2)a
n
+a
n-2
D
2
=(n一2)a
n
+a
n-2
(a
2
+aD
1
) =(n一1)a
n
+a
n-1
D
1
=(n一1)a
n
+a
n-1
·2a=(n+1)a
n
.
解析
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