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[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中 证明行列式∣A∣=(n+1)an

admin2019-05-10  74
问题 [2008年]  设n元线性方程组AX=b，其中

证明行列式∣A∣=(n+1)an
选项
答案 可用命题2．1．1．3，也可用归纳法或行列式性质证之 证一 利用三对称行列式的结论证之．由命题2．1．1．3知 [*] =(n+1)an． 故 ∣A∣=∣AT∣=(n+1)an． 证二 用数学归纳法证之．当n=1时，∣A∣=∣2a∣=2a=(1+1)a1=2a，结论成立． 当n=2时，∣A∣=[*]=3a2，结论也成立． 假设结论对n－2，n－1阶行列式成立，则 ∣A∣n-2=(n一1)an-2， ∣A∣n-1=nan-1． 将∣A∣按第1行展开，得到 ∣A∣n=2a∣A∣n-1一a2∣A∣n-2=2a·nan-1一a2·(n－1)an-2=(n+1)an， 即结论对n阶行列式仍成立．由数学归纳法原理知，对任何正整数n都有∣A∣=(n+1)an． 证三 为方便计，令Dn=∣A∣．将其按第1行展开，得到Dn=2aDn-1一a2Dn-2，即 Dn一aDn-1=aDn-1一a2Dn-2=a(Dn-1一aDn-2) =a·a(Dn-2一aDn-3)=a2(Dn-2一aDn-3)=… =an-2(D2一aD1)=an． 故 Dn=an+aDn-1=an+a(an-1+aDn-2)=2an+a2Dn-2=… =(n一2)an+an-2D2=(n一2)an+an-2(a2+aD1) =(n一1)an+an-1D1=(n一1)an+an-1·2a=(n+1)an．
解析
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考研数学二

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