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设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
admin
2015-09-14
27
问题
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
选项
答案
必要性 设B
T
AB正定,则对任意n维非零列向量x,有x
T
(B
T
AB)x>0,即(Bx)
T
A(Bx)>0,于是Bx≠0.因此,Bx=0只有零解,从而有r(B)=n。 充分性 因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,故B
T
AB为实对称矩阵,若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意n维非零列向量x,有Bx≠0,又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)
T
A(Bx)>0,于是当X≠0时,x
T
(B
T
AB)x=(Bx)
T
A(Bx)>0,故B
T
AB为正定矩阵。
解析
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考研数学三
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