2. 考研
  3. 设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

admin2015-09-14  26
问题 设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
选项
答案必要性 设BTAB正定，则对任意n维非零列向量x，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0，于是Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，从而有r(B)=n。 充分性 因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为实对称矩阵，若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意n维非零列向量x，有Bx≠0，又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0，于是当X≠0时，xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB为正定矩阵。
解析
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考研数学三

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