设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

admin2015-09-14  15

问题 设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

选项

答案必要性 设BTAB正定,则对任意n维非零列向量x,有xT(BTAB)x>0,即(Bx)TA(Bx)>0,于是Bx≠0.因此,Bx=0只有零解,从而有r(B)=n。 充分性 因(BTAB)T=BTATB=BTAB,故BTAB为实对称矩阵,若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意n维非零列向量x,有Bx≠0,又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)TA(Bx)>0,于是当X≠0时,xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)>0,故BTAB为正定矩阵。

解析
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