设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

admin2015-09-14 22

问题设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

选项

答案必要性设B^TAB正定，则对任意n维非零列向量x，有x^T(B^TAB)x＞0，即(Bx)^TA(Bx)＞0，于是Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，从而有r(B)=n。充分性因(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵，若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意n维非零列向量x，有Bx≠0，又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0，于是当X≠0时，x^T(B^TAB)x=(Bx)^TA(Bx)＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

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