设f(x)为可导函数，证明：f(x)的任意相邻的两个零点之前必定有f(x)+f’(x)的零点。

admin2021-07-15 109

问题设f(x)为可导函数，证明：f(x)的任意相邻的两个零点之前必定有f(x)+f’(x)的零点。

选项

答案设x₁,x₂(x₁＜x₂)为f(X)的任意相邻的两个零点，即f(x₁)=f(x₂)=0,由题设知f(x)在[x₁,x₂]上连续，在（x₁，x₂）内可导。设F(x)=e^xf(x),可知F(x)在[x₁,x₂]上满足罗尔定理条件，因此至少存在一个点ξ∈（x₁，x₂），使得F’（ξ）=0，即 f’(ξ)e^ξ+f(ξ)e^ξ=0, 由e^ξ≠0可知 f’(ξ)+f(ξ)=0 得证。

解析

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