2. 自考
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2+x32+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2+x32+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．

admin2019-05-09  74
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2+x32+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．
选项
答案根据假设条件知，变换后二次型F(x1，x2，x3)的矩阵分别为 [*] 二次型f可以写成f=XTAX，f=YTBY． 由于PTAP=B，且P为正交矩阵，故PT=PT，于是有PTAP=B，即A～B，所以有｜λI一A｜=｜λI—B｜，即 [*] 由此可得方程λ3—3λ2+(2一a2一b2)λ+(a一b)2=λ3一3λ2+2λ，从而有方程组[*] 解之得a=b=0，为所求的常数．
解析
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