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在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任-路径称为M到N的-条“L路径".如图所示的路MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0
在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任-路径称为M到N的-条“L路径".如图所示的路MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0
admin
2019-06-01
45
问题
在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任-路径称为M到N的-条“L路径".如图所示的路MM
1
M
2
M
3
N与路径MN
1
N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某-点P处修建-个文化中心.
若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
选项
答案
由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. ①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d
1
(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24,当且仅当x=3时,不等式中的等号成立.所以d
1
(x)的最小值为24,d
2
(y)2=y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立,所以d
2
(y)的最小值是21.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d
1
(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d
2
(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d
1
(x)≥24,故d
1
(x)+d
2
(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
解析
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