2. 公务员
  3. 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任－路径称为M到N的－条“L路径"．如图所示的路MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任－路径称为M到N的－条“L路径"．如图所示的路MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0

admin2019-06-01  31
问题 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任－路径称为M到N的－条“L路径"．如图所示的路MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某－点P处修建－个文化中心．

若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
选项
答案由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值． ①当y≥1时，d=|x+10|+|x－14|+|x－3|+2|y|+|y－20|，因为d1(x)=|x+10|+|x－14|+|x－3|≥|x+10|+|x－14|≥24，当且仅当x=3时，不等式中的等号成立．所以d1(x)的最小值为24，d2(y)2=y+|y－20|≥21，当且仅当y=1时，等号成立，所以d2(y)的最小值是21．故点P的坐标为(3，1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45． ②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d=|x+10|+|x－14|+|x－3|+1+|1－y|+|y|+|y－20|，此时，d1(x)=|x+10|+|x－14|+|x－3|，d2(y)=1+|1－y|+|y|+|y－20|=22－y≥21．由①知，d1(x)≥24，故d1(x)+d2(y)≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立．综上所述，在点P(3，1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
解析
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