2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。

设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。

admin2017-01-13  116
问题 设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。
选项
答案证明： 必要性：设φ(A)=∫aa+1f(x)dx一∫01(x)dx，由题设φ’(A)=f(a+l)一f(A)=0，则φ(A)=c(常数)。设a=0，则c=φ(0)=0，那么上∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx。 充分性：在∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(0)=0，故f(x)以l为周期。
解析
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考研数学二

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