设f(x)在(一∞,+∞)上连续,证明f(x)是以l(>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞,+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。

admin2017-01-13  58

问题 设f(x)在(一∞,+∞)上连续,证明f(x)是以l(>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞,+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。

选项

答案证明: 必要性:设φ(A)=∫aa+1f(x)dx一∫01(x)dx,由题设φ’(A)=f(a+l)一f(A)=0,则φ(A)=c(常数)。设a=0,则c=φ(0)=0,那么上∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx。 充分性:在∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导,得f(a+l)一f(0)=0,故f(x)以l为周期。

解析
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