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设f(x)在(一∞,+∞)上连续,证明f(x)是以l(>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞,+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。
设f(x)在(一∞,+∞)上连续,证明f(x)是以l(>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞,+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。
admin
2017-01-13
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问题
设f(x)在(一∞,+∞)上连续,证明f(x)是以l(>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞,+∞)恒有∫
a
a+l
f(x)dx=∫
a
l
f(x)dx。
选项
答案
证明: 必要性:设φ(A)=∫
a
a+1
f(x)dx一∫
0
1
(x)dx,由题设φ’(A)=f(a+l)一f(A)=0,则φ(A)=c(常数)。设a=0,则c=φ(0)=0,那么上∫
a
a+l
f(x)dx=∫
0
l
f(x)dx。 充分性:在∫
a
a+l
f(x)dx=∫
0
l
f(x)dx两边对a求导,得f(a+l)一f(0)=0,故f(x)以l为周期。
解析
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考研数学二
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