设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫alf(x)dx。

admin2017-01-13 90

问题设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫_a^a+lf(x)dx=∫_a^lf(x)dx。

选项

答案证明：必要性：设φ(A)=∫_a^a+1f(x)dx一∫₀¹(x)dx，由题设φ’(A)=f(a+l)一f(A)=0，则φ(A)=c(常数)。设a=0，则c=φ(0)=0，那么上∫_a^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx。充分性：在∫_a^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(0)=0，故f(x)以l为周期。

解析

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