设有方程xn+nx－1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当a＞1时，级数收敛。

admin2022-10-08 43

问题设有方程xⁿ+nx－1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根x_n,并证明当a＞1时，级数

收敛。

选项

答案记f_n(x)=xⁿ+nx－1 当x＞0时，f’_n(x)=nx^n-1+n＞0，故f_n(x)在[0,+∞)上单调增加，而f_n(0)=－1＜0，f_n(1)=n＞0,由连续函数的介值定理知xⁿ+nx－1=0存在唯一正实根x_n. 由x_nⁿ+nx_n－1=0与x_n＞0知 [*]

解析

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