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  3. 设有方程xn+nx－1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当a＞1时，级数收敛。

设有方程xn+nx－1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当a＞1时，级数收敛。

admin2022-10-08  103
问题 设有方程xn+nx－1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当a＞1时，级数收敛。
选项
答案记fn(x)=xn+nx－1 当x＞0时，f’n(x)=nxn-1+n＞0，故fn(x)在[0,+∞)上单调增加，而fn(0)=－1＜0，fn(1)=n＞0,由连续函数的介值定理知xn+nx－1=0存在唯一正实根xn. 由xnn+nxn－1=0与xn＞0知 [*]
解析
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考研数学三

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