[2012年] 微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y∣x=1=1的解为y=________.

admin2021-01-19  83

问题 [2012年]  微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y∣x=1=1的解为y=________.

选项

答案可用凑微分法求之.因方程中出现y2,不能化为以y为因变量、以x为自变量的微分方程,考虑到方程中仅出现x的一次方,也可化为以x为因变量、以y为自变量的方程解之. 解一 将原方程可化为ydx+xdy一3y2dy=d(xy)一dy3=d(xy—y3)=0的形式,两边积分得到 ∫d(xy—y3)=C, 即xy—y3=c. 又因y∣x=1=1,故C=0,即xy-y3=y(x—y2)=0,所以y=0或y2=x.因y=0不满足y∣x=1=1,故y2=x,则y=±√x.同理,可得y≠一√x,故y=√x. 解二 原方程可化为[*]+(lny)′x=3y,在方程两边乘以积分因子elny=y,得到 (elny)[*]+(elny)(lny)′x=3y2,(elny)[*]+(elny)′x=3y2, 亦即(elnyx)′=(yx)′=3y2,故yx=∫3y2dy=y3+C. 由y∣x=1=1得到C=0,故yx=y3,即y(x—y2)=0,由解一知,y=√x.

解析
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