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  3. [2012年] 微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y∣x=1=1的解为y=________．

[2012年] 微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y∣x=1=1的解为y=________．

admin2021-01-19  94
问题 [2012年]  微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y∣x=1=1的解为y=________．
选项
答案可用凑微分法求之．因方程中出现y2，不能化为以y为因变量、以x为自变量的微分方程，考虑到方程中仅出现x的一次方，也可化为以x为因变量、以y为自变量的方程解之． 解一 将原方程可化为ydx+xdy一3y2dy=d(xy)一dy3=d(xy—y3)=0的形式，两边积分得到 ∫d(xy—y3)=C， 即xy—y3=c． 又因y∣x=1=1，故C=0，即xy－y3=y(x—y2)=0，所以y=0或y2=x．因y=0不满足y∣x=1=1，故y2=x，则y=±√x．同理，可得y≠一√x，故y=√x． 解二 原方程可化为[*]+(lny)′x=3y，在方程两边乘以积分因子elny=y，得到 (elny)[*]+(elny)(lny)′x=3y2，(elny)[*]+(elny)′x=3y2， 亦即(elnyx)′=(yx)′=3y2，故yx=∫3y2dy=y3+C． 由y∣x=1=1得到C=0，故yx=y3，即y(x—y2)=0，由解一知，y=√x．
解析
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考研数学二

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