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[2012年] 微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y∣x=1=1的解为y=________.
[2012年] 微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y∣x=1=1的解为y=________.
admin
2021-01-19
152
问题
[2012年] 微分方程ydx+(x一3y
2
)dy=0满足条件y∣
x=1
=1的解为y=________.
选项
答案
可用凑微分法求之.因方程中出现y
2
,不能化为以y为因变量、以x为自变量的微分方程,考虑到方程中仅出现x的一次方,也可化为以x为因变量、以y为自变量的方程解之. 解一 将原方程可化为ydx+xdy一3y
2
dy=d(xy)一dy
3
=d(xy—y
3
)=0的形式,两边积分得到 ∫d(xy—y
3
)=C, 即xy—y
3
=c. 又因y∣
x=1
=1,故C=0,即xy-y
3
=y(x—y
2
)=0,所以y=0或y
2
=x.因y=0不满足y∣
x=1
=1,故y
2
=x,则y=±√x.同理,可得y≠一√x,故y=√x. 解二 原方程可化为[*]+(lny)′x=3y,在方程两边乘以积分因子e
lny
=y,得到 (e
lny
)[*]+(e
lny
)(lny)′x=3y
2
,(e
lny
)[*]+(e
lny
)′x=3y
2
, 亦即(e
lny
x)′=(yx)′=3y
2
,故yx=∫3y
2
dy=y
3
+C. 由y∣
x=1
=1得到C=0,故yx=y
3
,即y(x—y
2
)=0,由解一知,y=√x.
解析
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考研数学二
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