已知矩阵A＝(aij)n×n的秩为n－1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量。

admin2017-06-26 47

问题已知矩阵A＝(a_ij)_n×n的秩为n－1，求A的伴随矩阵A^*的特征值和特征向量。

选项

答案由A^*A＝｜A｜E＝O，知A的n－1个线性无关的列向量都是方程组A^*χ＝0的解向量，即λ＝0至少是A^*的n－重特征值，而上述n－1个列向量即为对应的线性无关特征向量．又由全部特征值之和等于A^*的主对角线上元素之和A₁₁＋A₂₂＋…＋A_nn，故A^*的第n个特征值为[*]A_ii，由于r(A^*)＝1，故A^*的列成比例，不妨设(A₂₁，A₁₂，…，A_1n)^T≠0，则存在常数k₂，…，k_n，使 [*] 于是有[*]A_ii＝A₁₁＋k₂A₁₂＋…＋k_nA_1n，且使 [*] 因此，(A₁₁，A₁₂，…，A_1n)^T为A^*的对应于特征值[*]A_ii的特征向量．

解析

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考研数学三

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