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已知矩阵A=(aij)n×n的秩为n-1,求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量。
已知矩阵A=(aij)n×n的秩为n-1,求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量。
admin
2017-06-26
65
问题
已知矩阵A=(a
ij
)
n×n
的秩为n-1,求A的伴随矩阵A
*
的特征值和特征向量。
选项
答案
由A
*
A=|A|E=O,知A的n-1个线性无关的列向量都是方程组A
*
χ=0的解向量,即λ=0至少是A
*
的n-重特征值,而上述n-1个列向量即为对应的线性无关特征向量.又由全部特征值之和等于A
*
的主对角线上元素之和A
11
+A
22
+…+A
nn
,故A
*
的第n个特征值为[*]A
ii
,由于r(A
*
)=1,故A
*
的列成比例,不妨设(A
21
,A
12
,…,A
1n
)
T
≠0,则存在常数k
2
,…,k
n
,使 [*] 于是有[*]A
ii
=A
11
+k
2
A
12
+…+k
n
A
1n
,且使 [*] 因此,(A
11
,A
12
,…,A
1n
)
T
为A
*
的对应于特征值[*]A
ii
的特征向量.
解析
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考研数学三
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