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齐次线性方程组的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠0,使得AB=0,则( ).
齐次线性方程组的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠0,使得AB=0,则( ).
admin
2020-06-05
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问题
齐次线性方程组
的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠0,使得AB=0,则( ).
选项
A、λ=﹣2且|B|=0
B、λ=﹣2且|B|≠0
C、λ=1且|B|=0
D、λ=1且|B|≠0
答案
C
解析
将矩阵B按列分块,则由题设条件有
AB=A(β
1
,β
2
,β
3
)=(Aβ
1
,Aβ
2
,Aβ
3
)=0
即Aβ
j
=0(j=1,2,3),这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解.又由B≠0,知齐次线性方程组Ax=0存在非零解,从而R(A)﹤3.考虑到A为3阶方阵,故有
即λ=1,排除(A),(B).
若|B|≠0,则矩阵B可逆.以B
﹣1
右乘AB=0,得ABB
﹣1
=0B
﹣1
,即A=0.这与A为非零矩阵矛盾,(D)不正确.
事实上,由于A为非零矩阵,那么R(A)﹥1,进而R
s
=3-R(A)﹤3.又由AB=0可知B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解,故而R(B)≤R
s
﹤3,于是|B|=0.或将AB=0两边取转置,得B
T
A
T
=0.由A是非零矩阵可知,齐次线性方程组B
T
x=0有非零解,从而方阵B
T
为降秩矩阵,即|B
T
|=|B|=0.
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考研数学一
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