n阶矩阵A满足A2－2A－3E＝O，证明A能相似对用化．

admin2017-09-15 49

问题 n阶矩阵A满足A²－2A－3E＝O，证明A能相似对用化．

选项

答案由A²－2A－3E＝0得(E＋A)(3E－A)＝0，则 r(E＋A)＋r(3E－A)≤n；由r(E＋A)＋r(3E－A)≥r(4E)＝n得r(E＋A)＋r(3E－A)＝n． (1)当r(E＋A)＝n时，A＝3E为对角阵； (2)当r(3E－A)＝n时，为对角矩阵； (3)r(E＋A)＜n，r(3E－A)＜n，则｜E＋A｜＝0，｜3E－A｜＝0， A的特征值λ₁＝－1，λ₂＝3． λ₁＝－1对应的线性无关的特征向量个数为n－r(－E－A)＝n－r(E＋A)； λ₂＝3对应的线性无关的特征向量个数为n－r(3E－A)．因为n－r(E＋A)＋n－r(3E－A)＝n，所以A可相似对角化．

解析

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