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设P(x,y),Q(x,y)在曲线L上连续,l为L的长度,且 (1)证明|∫LPdx+Qdy|≤Ml. (2)利用(1)估计积分 其中GR为圆周(x+1)2+(y-1)2=R2的正向,并求|IR|.
设P(x,y),Q(x,y)在曲线L上连续,l为L的长度,且 (1)证明|∫LPdx+Qdy|≤Ml. (2)利用(1)估计积分 其中GR为圆周(x+1)2+(y-1)2=R2的正向,并求|IR|.
admin
2023-03-22
81
问题
设P(x,y),Q(x,y)在曲线L上连续,l为L的长度,且
(1)证明|∫
L
Pdx+Qdy|≤Ml.
(2)利用(1)估计积分
其中G
R
为圆周(x+1)
2
+(y-1)
2
=R
2
的正向,并求
|I
R
|.
选项
答案
(1)由两类曲线积分之间的关系: ∫
L
Pdx+Qdy=∫
L
(Pcosα+Qsinα)ds, 其中α(x,y)为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角.由曲线积分的性质得 |∫
L
Pdx+Qdy|=|∫
L
(Pcosα+Qsinα)ds|≤∫
L
|Pcosα+Qsinα|ds. 而由Schwarz不等式有 |Pcosα+Qsinα|=|(P,Q)(cosα,sinα)|≤[*]≤M, 所以 |∫
L
Pdx+Qdy|≤M∫
L
ds=Ml. (2)由已知有[*],所以P
2
+Q
2
=1/R
6
为常数,从而M=1/R
3
.故 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9SgD777K
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考研数学二
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