2. 考研
  3. 设P(x，y)，Q(x，y)在曲线L上连续，l为L的长度，且 (1)证明｜∫LPdx+Qdy｜≤Ml． (2)利用(1)估计积分 其中GR为圆周(x+1)2+(y-1)2=R2的正向，并求｜IR｜．

设P(x，y)，Q(x，y)在曲线L上连续，l为L的长度，且 (1)证明｜∫LPdx+Qdy｜≤Ml． (2)利用(1)估计积分 其中GR为圆周(x+1)2+(y-1)2=R2的正向，并求｜IR｜．

admin2023-03-22  43
问题 设P(x，y)，Q(x，y)在曲线L上连续，l为L的长度，且
   
    (1)证明｜∫LPdx+Qdy｜≤Ml．
    (2)利用(1)估计积分
   
    其中GR为圆周(x+1)2+(y-1)2=R2的正向，并求｜IR｜．
选项
答案(1)由两类曲线积分之间的关系： ∫LPdx+Qdy=∫L(Pcosα+Qsinα)ds， 其中α(x，y)为有向曲线弧L在点(x，y)处的切向量的方向角．由曲线积分的性质得 ｜∫LPdx+Qdy｜=｜∫L(Pcosα+Qsinα)ds｜≤∫L｜Pcosα+Qsinα｜ds． 而由Schwarz不等式有 ｜Pcosα+Qsinα｜=｜(P，Q)(cosα，sinα)｜≤[*]≤M， 所以 ｜∫LPdx+Qdy｜≤M∫Lds=Ml． (2)由已知有[*]，所以P2+Q2=1／R6为常数，从而M=1／R3．故 [*]
解析
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考研数学二

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