设A,B均为二阶或三阶矩阵,A可逆并且 A2+AB+B2=O. 试证:B和A+B都是可逆矩阵.

admin2018-09-07  44

问题 设A,B均为二阶或三阶矩阵,A可逆并且
A2+AB+B2=O.
试证:B和A+B都是可逆矩阵.

选项

答案由已知条件可知B2+AB=一A2,进一步有 (B+A)B=一A2, 两边取行列式得 |B+A||B|=|—A||A|, 因为A可逆,所以一A也可逆,从而|A|≠0,|—A|≠0. 因此, |B+A||B|≠0, 于是|B|≠0以及|B+A|≠0, 因此,B和A+B都是可逆矩阵.

解析
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