设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2018-08-02 72

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(1)计算P^TDP，其中P=

，(E_k为k阶单位矩阵)；
(2)利用(1)的结果判断矩阵B-C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案(1)P^TDP=[*]；(2)矩阵B-C^TA^-1C是正定矩阵．证明：由(1)的结果知D合同于矩阵M=[*]，又D为正定矩阵，所以M为正定矩阵．因M为对称矩阵，故B-C^TA^-1C为对称矩阵．由M正定，知对m维零向量x=(0，0，…，0)^T及任意的n维非零向量y=(y₁，y₂，…，y_n)^T，有 [x^T，y^T][*]=[x^T，y^T][*] =y^T(B-C^TA^-1C)y＞0 故对称矩阵B-C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

考研数学二

设ξ1＝为矩阵A＝的一个特征向量．(I)求常数a，b及ξ1所对应的特征值；(Ⅱ)矩阵A可否相似对角化?若A可对角化，对A进行相似对角化；若A不可对角化，说明理由．

设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3，(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2；(Ⅱ)求常数a，b及通解．

设矩阵A＝相似于矩阵B＝　(I)求a，b的值；　(II)求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

设矩阵A＝b＝若集合Ω＝{1，2}，则线性方程组Ax＝b有无穷多解的充分必要条件为

证明：对任意的x，y∈R且x≠y，有

设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则()．

设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．

设A为三阶矩阵，Aαi=iαi(i=1，2，3)，，求A．

设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B=且AB=O，求方程组Ax=0的通解．

设A是m×n矩阵，且m>n，下列命题正确的是()．

用于防直击雷的防雷装置中，()是利用其高出被保护物的地位，把雷电引向自身，起到拦截闪击的作用。

下列不属于社会保障体系的内容的是()

A、Discussamagazinearticlewiththewoman.B、Helpthewomanfindanewdoctor.C、Gotothestoreforsomemedicine.D、Buythe

A．桂枝配伍甘草B．桂枝配伍葱白C．桂枝配伍麻黄D．桂枝配伍白芍治疗外感风寒表实证宜选

治疗湿热下注石淋的首选方剂为治疗湿热下注血淋的主方为

A、消除病人紧张情绪B、使迅速进入外科麻醉期C、在此基础上进行麻醉，可使药量减少，麻醉平稳D、防止吸人性肺炎及反射性心律失常E、增强麻醉效果手术前夜用地西泮

下列关于止水及其相应部位的混凝土浇筑施工的说法正确的是()。

幼儿教师在组织美术活动时，尽量能够亲身示范，为幼儿起到良好的榜样。()

Fivepeopleareinterviewedbythelocalnewspaperandtheygivetheirviewsontheproblemofnoise.Forquestions61to65,ma

Thepolice(look)______forthelostchildalldaylong.

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