2. 考研
  3. 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2018-08-02  89
问题 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)；
(2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
选项
答案(1)PTDP=[*]；(2)矩阵B-CTA-1C是正定矩阵．证明：由(1)的结果知D合同于矩阵M=[*]，又D为正定矩阵，所以M为正定矩阵．因M为对称矩阵，故B-CTA-1C为对称矩阵．由M正定，知对m维零向量x=(0，0，…，0)T及任意的n维非零向量y=(y1，y2，…，yn)T，有 [xT，yT][*]=[xT，yT][*] =yT(B-CTA-1C)y＞0 故对称矩阵B-CTA-1C为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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