设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. (1)计算PTDP,其中P=,(Ek为k阶单位矩阵); (2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.

admin2018-08-02  37

问题 设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
(1)计算PTDP,其中P=,(Ek为k阶单位矩阵);
(2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.

选项

答案(1)PTDP=[*];(2)矩阵B-CTA-1C是正定矩阵.证明:由(1)的结果知D合同于矩阵M=[*],又D为正定矩阵,所以M为正定矩阵.因M为对称矩阵,故B-CTA-1C为对称矩阵.由M正定,知对m维零向量x=(0,0,…,0)T及任意的n维非零向量y=(y1,y2,…,yn)T,有 [xT,yT][*]=[xT,yT][*] =yT(B-CTA-1C)y>0 故对称矩阵B-CTA-1C为正定矩阵.

解析
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