设函数f(x)在[2,+∞)上可导且f(2)=1,如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x,则f(4)=_____.

admin2017-05-18  26

问题 设函数f(x)在[2,+∞)上可导且f(2)=1,如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x,则f(4)=_____.

选项

答案[*]

解析 当x≥2时,将已知方程两边对x求导得
    g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1,
因为g(x)是f(x)的反函数,所以g[f(x)]=x,于是,上式可写成
    xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1,
即    (x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1,

这是一个一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程的通解公式,有

由f(2)=1,得C=3-ln2,所以

于是
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