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设函数f(x)在[2,+∞)上可导且f(2)=1,如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x,则f(4)=_____.
设函数f(x)在[2,+∞)上可导且f(2)=1,如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x,则f(4)=_____.
admin
2017-05-18
26
问题
设函数f(x)在[2,+∞)上可导且f(2)=1,如果f(x)的反函数g(x)满足
=x
2
f(x)+x,则f(4)=_____.
选项
答案
[*]
解析
当x≥2时,将已知方程两边对x求导得
g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x
2
f’(x)+1,
因为g(x)是f(x)的反函数,所以g[f(x)]=x,于是,上式可写成
xf’(x)=2xf(x)+x
2
f’(x)+1,
即 (x
2
-x)f’(x)+2xf(x)=-1,
这是一个一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程的通解公式,有
由f(2)=1,得C=3-ln2,所以
于是
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