设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且，f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ2)(arctanξ)f’(ξ)=-1．

admin2020-04-30 59

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且

，f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ²)(arctanξ)f’(ξ)=-1．

选项

答案令F(x)=e^f(x)arctanx，x∈[0，1]，则F(1)=π/4．由定积分中值定理，存在x₀∈(0，2/π)，使(e^f(x₀)arctanx₀) 2/π=1/2，即F(x₀)=F(1) 显然F(x)在[x₀，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点[*]，使f’(ξ)=0，即 (1+ξ²)(arctanξ)f’(ξ)=-1．

解析本题考查中值问题．根据所证结论的形式，应考虑使用罗尔定理，题设条件由定积分形式给出，提示辅助函数应为被积函数．

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考研数学一

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