设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(χ)cosχdχ=∫0πf(χ)sinχdχ=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=0.

admin2019-08-23  51

问题 设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(χ)cosχdχ=∫0πf(χ)sinχdχ=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f′(ξ)=0.

选项

答案令F(χ)=∫0χ(t)sintdt,因为F(0)=F(π)=0,所以存在χ1∈(0,π),使得 F′(χ1)=0,即f(χ1)sinχ1=0,又因为sinχ1≠0,所以f(χ1)=0. 设χ1是f(χ)在(0,π)内唯一的零点, 则当χ∈(0,π)且χ≠χ1时,有sin(χ-χ1)f(χ)恒正或恒负, 于是∫0πsin(χ-χ1)f(χ)χ≠0. 而∫0πsin(χ-χ1)f(χ)dχ=cosχ10πf(χ)sinχdχ-sinχ10πf(χ)cosχdχ=0,矛盾, 所以f(χ)在(0,π)内至少有两个零点.不妨设f(χ1)=f(χ2)=0,χ1,χ2∈(0,π)且χ1<χ2, 由罗尔中值定理,存在ξ∈(χ1,χ2)[*](0,π),使得f′(ξ)=0.

解析
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