证明 =(n+1)an．

admin2018-11-11 76

问题证明

=(n+1)aⁿ．

选项

答案本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法．记此行列式为D_n，对第1行展开，得递推公式 D_n=2aD_n－1－a²D_n－2．用数列技巧计算． D_n=2aD_n－1－a²D_n－2．改写为D_n－aD_n－1=a(D_n－1－aD_n－2)，记H_n=D_n－aD_n－1(n≥2)，则n≥3时H_n=aH_n－1，即{H_n}是公比为a的等比数列．而H₂=D₂－aD₁=3a²－2a²=a²，得到H_n=aⁿ，于是得到一个新的递推公式 D_n=aD_n－1+aⁿ，两边除以aⁿ，得D_n／aⁿ=D_n－1／a^n－1+1．于是{D_n／aⁿ}是公差为1的等差数列．D₁／a=2，则 D_n／aⁿ=n+1，D_n=(n+1)aⁿ．

解析

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