设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中 ①A2; ②P-1AP; ③AT; ④。 α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

admin2019-08-12  24

问题 设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,那么在下列矩阵中
①A2;    ②P-1AP;    ③AT;   ④
  α肯定是其特征向量的矩阵个数为(    )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案B

解析 由Aα=λα,α≠0,有A2α=A(λα)=λAα=λ2α,即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。又
知α必是矩阵
属于特征值
的特征向量。关于②和③则不一定成立。这是因为(P一1AP)(P一1α)=P一1Aα=λP一1α,按定义,矩阵P一1AP的特征向量是P一1α。因为P一1α与α不一定共线,因此α不一定是P一1AP的特征向量,即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(λE—A)x=0与(λE一AT)x=0不一定同解,所以α不一定是第二个方程组的解,即α不一定是AT的特征向量。所以应选B。
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