求正交变换化二次型x12+x22+x32－4x1x2－4x2x3－4x1x3为标准形．

admin2017-06-08 62

问题求正交变换化二次型x₁²+x₂²+x₃²－4x₁x₂－4x₂x₃－4x₁x₃为标准形．

选项

答案二次型矩阵A=[*]，由特征多项式 [*] 得特征值为 λ₁=λ₂=3，λ₃=－3．由(3E－A)x=0得基础解系α₁=(－1，1，0)^T，α₂=(－1，0，1)^T，即λ=3的特征向量是α₁，α₂．由(－E－A)x=0得基础解系α₃=(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Schmidt正交化，有 [*] 单位化，得 [*] 那么，令x=Qy，其中Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则有f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^TΛy=3y₁²+3y₂²－3₃²．

解析

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考研数学二

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求微分方程ydx+(x-3y2)dx=0满足条件y｜x=1=1的解y。
已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2，(1)求实数a的值；(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．
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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
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a为什么数时二次型χ12＋3χ22＋2χ32＋2aχ2χ3可用可逆线性变量替换化为2y12－3y22＋5y32?
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