求正交变换化二次型x12+x22+x32-4x1x2-4x2x3-4x1x3为标准形.

admin2017-06-08  51

问题 求正交变换化二次型x12+x22+x32-4x1x2-4x2x3-4x1x3为标准形.

选项

答案二次型矩阵A=[*],由特征多项式 [*] 得特征值为 λ12=3,λ3=-3. 由(3E-A)x=0得基础解系α1=(-1,1,0)T,α2=(-1,0,1)T,即λ=3的特征向量是α1,α2. 由(-E-A)x=0得基础解系α3=(1,1,1)T. 对α1,α2经Schmidt正交化,有 [*] 单位化,得 [*] 那么,令x=Qy,其中Q=(γ1,γ2,γ3),则有f(x1,x2,x3)=xTAx=yTΛy=3y12+3y22-332

解析
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