2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：∫01xf2(x)dx/∫01xf(x)dx≤∫01f2(x)dx/∫01f(x)dx．

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：∫01xf2(x)dx/∫01xf(x)dx≤∫01f2(x)dx/∫01f(x)dx．

admin2022-11-10  80
问题 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：∫01xf2(x)dx/∫01xf(x)dx≤∫01f2(x)dx/∫01f(x)dx．
选项
答案∫01xf2(x)dx/∫01xf(x)dx≤∫01f2(x)dx/∫01f(x)dx等价于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx，等价于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy≥0，令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy，根据对称性，I=∫01dx∫01xf(x)f(y)[f(y)-f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy，因为f(x)＞0且单调减少，所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以∫01xf2(x)dx/∫01xf(x)dx≤∫01f2(x)dx/∫01f(x)dx．
解析
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考研数学三

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