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设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:∫01xf2(x)dx/∫01xf(x)dx≤∫01f2(x)dx/∫01f(x)dx.
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:∫01xf2(x)dx/∫01xf(x)dx≤∫01f2(x)dx/∫01f(x)dx.
admin
2022-11-10
40
问题
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:∫
0
1
xf
2
(x)dx/∫
0
1
xf(x)dx≤∫
0
1
f
2
(x)dx/∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
∫
0
1
xf
2
(x)dx/∫
0
1
xf(x)dx≤∫
0
1
f
2
(x)dx/∫
0
1
f(x)dx等价于∫
0
1
f
2
(x)dx∫
0
1
xf(x)dx≥∫
0
1
f(x)dx∫
0
1
xf
2
(x)dx,等价于∫
0
1
f
2
(x)dx∫
0
1
yf(y)dy≥∫
0
1
f(x)dx∫
0
1
yf
2
(y)dy,或者∫
0
1
dx∫
0
1
yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy≥0,令I=∫
0
1
dx∫
0
1
yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy,根据对称性,I=∫
0
1
dx∫
0
1
xf(x)f(y)[f(y)-f(x)]dy,2I=∫
0
1
dx∫
0
1
f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy,因为f(x)>0且单调减少,所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0,所以∫
0
1
xf
2
(x)dx/∫
0
1
xf(x)dx≤∫
0
1
f
2
(x)dx/∫
0
1
f(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4nC4777K
0
考研数学三
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