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  3. 设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（ ）

设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（ ）

admin2017-01-21  51
问题 设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（     ）
选项 A、xT（A+B）x
B、xTA—1x
C、xTB—1x
D、xTABx
答案D
解析 因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。设
APj=λjPj，则A—1pj=pj，A—1的n个特征值（j=1，2，…，n）必都大于零，这说明A—1为正定阵，xTA—1x为正定二定型。
同理，xTB—1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT（A+B）x=xTAx +xTBx＞0。
这说明xT（A+B）x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。
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考研数学三

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