2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)。若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)。

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)。若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)。

admin2018-04-14  55
问题 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)。若∫0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)。
选项
答案f(x)的反函数是g(x)，根据反函数的性质有g[f(x)]=x，∫0f(x)g(t)dt=x2ex两边对x求导，有 (∫0f(x)g(t)dt)’=(x2ex)’[*]g[f(x)]f’(x)=x2ex+2xex， 又g[f(x)]=x，所以 xf’(x)=x2ex+2xex[*]f’(x)=xex+2ex，x∈(0，+∞)， 两边积分∫f’(x)dx=∫(xex+2ex)dx[*]f(x)=∫xexdx+∫2exdx [*]f(x)=∫xdex+2ex[*]xex－∫exdx+2ex [*]f(x)=xex－ex+2ex+C[*]f(x)=xex+ex+C。 由于题设f(x)在[0，+∞)上可导，所以在x=0处连续，故 f(0)=[*](xex+ex+C)=1+C=0， 所以C=－1，于是 f(x)=xex+ex－1，x∈[0，+∞)。
解析
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考研数学二

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