2. 考研
  3. 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

admin2014-01-26  98
问题 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点．
    (1)试求曲线L的方程；
    (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．
选项
答案(1)设曲线L上过点P(x，y)的切线方程为Y—y＝y’(X－x)，令X＝0，得该切线在y轴上的截距为y－xy’． 由题设有[*]，此为一阶齐次微分方程，令[*]，将此方程转化为 [*]，两边积分并代入[*]。 由于L经过点[*]，于是L的方程为 [*]。 (2)设第一象限内曲线[*]在点P(x，y)处的切线方程为 [*]， 它与x轴及y轴的交点分别为[*]。 于是所求面积为[*]， 令 S’(x)＝0，得[*]，容易验证[*]是函数S(x)在[*]内的极小值点，且是唯一的极小值点，即为最小值点． 于是所求切线为[*]。
解析 [分析](1)先求出切线方程及其在y轴上的截距，由题设可得到与待求曲线对应的函数所满足的微分方程．(2)由面积最小，可得曲线上的切点，从而求出对应的切线方程．
    [评注]  本题是一道综合题，主要考查由实际问题建立微分方程的能力、微分方程的求解、导数与定积分的几何应用以及求函数的极值．求曲线在任意点P(x，y)处的切线方程时，由于任意点已用x和y表示，因此切线上任意点的坐标设为(X，Y)，以示区别．这是求解这类问题的一种习惯做法，应引起注意．
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考研数学二

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