首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
admin
2014-01-26
67
问题
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点
.
(1)试求曲线L的方程;
(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
选项
答案
(1)设曲线L上过点P(x,y)的切线方程为Y—y=y’(X-x),令X=0,得该切线在y轴上的截距为y-xy’. 由题设有[*],此为一阶齐次微分方程,令[*],将此方程转化为 [*],两边积分并代入[*]。 由于L经过点[*],于是L的方程为 [*]。 (2)设第一象限内曲线[*]在点P(x,y)处的切线方程为 [*], 它与x轴及y轴的交点分别为[*]。 于是所求面积为[*], 令 S’(x)=0,得[*],容易验证[*]是函数S(x)在[*]内的极小值点,且是唯一的极小值点,即为最小值点. 于是所求切线为[*]。
解析
[分析](1)先求出切线方程及其在y轴上的截距,由题设可得到与待求曲线对应的函数所满足的微分方程.(2)由面积最小,可得曲线上的切点,从而求出对应的切线方程.
[评注] 本题是一道综合题,主要考查由实际问题建立微分方程的能力、微分方程的求解、导数与定积分的几何应用以及求函数的极值.求曲线在任意点P(x,y)处的切线方程时,由于任意点已用x和y表示,因此切线上任意点的坐标设为(X,Y),以示区别.这是求解这类问题的一种习惯做法,应引起注意.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9m34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
(2001年)设函数g(x)=∫0xf(u)du,其中f(x)=则g(x)在区间(0,2)内()
(2015年)设{xn}是数列.下列命题中不正确的是()
(2010年)求极限.
假设D是矩阵A的r阶子式,且D≠0,但含D的一切r+1阶子式都等于0.那么矩阵A的一切r+1阶子式都等于0.
(11年)已知函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,f(1,1)=2是f(u,v)的极值,z=f(χ+y,f(χ,y)).求.
[2008年]设n元线性方程组AX=b,其中证明行列式|A|=(n+1)an;
设二次型f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32,其中X=(x1,x2,x3)T和Y=(y1,y2,y3)T是3维列向量,P是3阶正交矩阵,试求常数α,β.
(2000年)=______。
(2007年)微分方程满足y|x=1的特解为y=______.
微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0满足y(1)=2的特解是y=___________.
随机试题
集体合同的时间效力的表现形式有()
下列关于NHL的病理类型中,哪些属于中度恶性?
(2007年第75题)下列属于退行性变的疾病是
下列行为中,属于无效民事行为的有()。
人们常说“教学有法,教无定法”,此话反映了教师劳动的()。(2014·河南)
Wherearetheynow?
Electronicmailhasbecomeanextremelyimportantandpopularmeansofcommunication.Theconvenienceandefficiencyofelec
JudgingbythewildlycheeringaudienceattheorgyofconsumerismthatwasOprahWinfrey’s"UltimateFavouriteThings"show,A
A、Theykeepallthepropertyoftheorganization.B、Theyareresponsibleformostofthebusinessdebts.C、Theytakemorerespon
Postgraduatedilemmas[A]Decidingwhetherornottobecomeapostgraduatecanbeadaunting(令人畏缩的)prospect.Evenifyouaresure
最新回复
(
0
)