首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
admin
2014-01-26
53
问题
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点
.
(1)试求曲线L的方程;
(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
选项
答案
(1)设曲线L上过点P(x,y)的切线方程为Y—y=y’(X-x),令X=0,得该切线在y轴上的截距为y-xy’. 由题设有[*],此为一阶齐次微分方程,令[*],将此方程转化为 [*],两边积分并代入[*]。 由于L经过点[*],于是L的方程为 [*]。 (2)设第一象限内曲线[*]在点P(x,y)处的切线方程为 [*], 它与x轴及y轴的交点分别为[*]。 于是所求面积为[*], 令 S’(x)=0,得[*],容易验证[*]是函数S(x)在[*]内的极小值点,且是唯一的极小值点,即为最小值点. 于是所求切线为[*]。
解析
[分析](1)先求出切线方程及其在y轴上的截距,由题设可得到与待求曲线对应的函数所满足的微分方程.(2)由面积最小,可得曲线上的切点,从而求出对应的切线方程.
[评注] 本题是一道综合题,主要考查由实际问题建立微分方程的能力、微分方程的求解、导数与定积分的几何应用以及求函数的极值.求曲线在任意点P(x,y)处的切线方程时,由于任意点已用x和y表示,因此切线上任意点的坐标设为(X,Y),以示区别.这是求解这类问题的一种习惯做法,应引起注意.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9m34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
(16年)设函数f(χ)在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则【】
(05年)当a取下列哪个值时,函数f(χ)=2χ3-9χ2+12χ-a恰有两个不同的零点.【】
(2009年)求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值。
[2007年]设线性方程组(I)与方程(Ⅱ):x1+2x2+x3=a-1.有公共解.求a的值与所有公共解.
[2015年]设矩阵相似于矩阵求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
(02年)设函数u=f(χ,y,z)有连续偏导数,且z=z(χ,y)由方程χeχ-yey=zez所确定,求du.
(2000年)=______。
微分方程y"-2y’=xe2x+3x+2的特解形式为()。
设函数y=y(x)由参数方程确定。其中x(t)是初值问题
设(1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解y(x);(2)讨论是否存在,若存在,给出条件,若不存在,说明理由.
随机试题
关于苏黎世金融市场的说法,下列不正确的是()
患者,女,40岁。低热,乏力1年,近3个月来四肢关节、肌肉痛,肌无力,上楼困难,同时在上眼睑出现红色皮疹,吞咽困难。体检:眼睑周围水肿,眼睑、鼻梁、面颊、远端指间关节及甲周皮肤有暗紫色红斑。患者最可能的诊断是
炎症初期局部发红是由()造成的
牙源性角化囊肿的发生多为
汽车运输定额,适用于水利工程施工路况10km以内的场内运输。运距超过10km,超过部分按增运1km的台时数乘()系数计算。
某公司2006年7月境内销售货物实纳增值税40万元和消费税50万元,进口货物缴纳增值税20万元,另外被税务机关查补营业税10万元,加征滞纳金1万元,罚款5万元,则该企业当月应纳教育费附加( )万元。
对劳动法的阐述,下列说法不正确的是()。
下面谱例中的旋律出自哪位作曲家的作品?()
某些精神失常患者可以通过心理疗法而痊愈,例如,癔病和心因性反应等。然而,某些精神失常是因为大脑神经递质化学物质不平衡,例如精神分裂症和重症抑郁,这类患者只能通过药物进行治疗。上述论述是基于以下哪项假设?
Automatonsaremechanicalobjectsthatbecomerelativelyself-operatingoncetheyhavebeen________.
最新回复
(
0
)