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设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
admin
2014-01-26
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问题
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点
.
(1)试求曲线L的方程;
(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
选项
答案
(1)设曲线L上过点P(x,y)的切线方程为Y—y=y’(X-x),令X=0,得该切线在y轴上的截距为y-xy’. 由题设有[*],此为一阶齐次微分方程,令[*],将此方程转化为 [*],两边积分并代入[*]。 由于L经过点[*],于是L的方程为 [*]。 (2)设第一象限内曲线[*]在点P(x,y)处的切线方程为 [*], 它与x轴及y轴的交点分别为[*]。 于是所求面积为[*], 令 S’(x)=0,得[*],容易验证[*]是函数S(x)在[*]内的极小值点,且是唯一的极小值点,即为最小值点. 于是所求切线为[*]。
解析
[分析](1)先求出切线方程及其在y轴上的截距,由题设可得到与待求曲线对应的函数所满足的微分方程.(2)由面积最小,可得曲线上的切点,从而求出对应的切线方程.
[评注] 本题是一道综合题,主要考查由实际问题建立微分方程的能力、微分方程的求解、导数与定积分的几何应用以及求函数的极值.求曲线在任意点P(x,y)处的切线方程时,由于任意点已用x和y表示,因此切线上任意点的坐标设为(X,Y),以示区别.这是求解这类问题的一种习惯做法,应引起注意.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9m34777K
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考研数学二
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