设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是三维列向量，且线性无关，已知 Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)证明：Aα1，Aα2，Aα3线性无关． (2)求｜A｜．

admin2017-07-26 40

问题设A是3×3矩阵，α₁，α₂，α₃是三维列向量，且线性无关，已知
Aα₁=α₂+α₃，Aα₂=α₁+α₃，Aα₃=α₁+α₂．
(1)证明：Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关．
(2)求｜A｜．

选项

答案(1)[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=[α₂+α₃，α₃+α₁，α₁+α₂] [*] C是可逆阵，故[Aα₁，Aα₂，Aα₃]和[α₁，α₂，α₃]是等价向量组，故Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关． (2)[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=A[α₁，α₂，α₃] =[α₁，α₂，α₃][*] 两边取行列式，得｜A｜=[*]=2．

解析

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考研数学三

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设A为3阶矩阵，α。，α为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α满足Aα3＝α2＋α3，(I)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P＝(α11，α2，α3)，求P－1AP．
已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1；4x1+3x2+5x3-x4=-1；ax1+x2+3x3+bx4=-1；有3个线性无关的解.证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；
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