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)设β、β均为3维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置.证明: (I)秩r(A)≤2;(II)若α,β线性相关,则秩r(A)<2.
)设β、β均为3维列向量,矩阵A=ααT+ββT,其中αT,βT分别是α,β的转置.证明: (I)秩r(A)≤2;(II)若α,β线性相关,则秩r(A)<2.
admin
2016-04-11
86
问题
)设β、β均为3维列向量,矩阵A=αα
T
+ββ
T
,其中α
T
,β
T
分别是α,β的转置.证明:
(I)秩r(A)≤2;(II)若α,β线性相关,则秩r(A)<2.
选项
答案
(I)r(A)=r(αα
T
+ββ
T
) ≤r(αα
T
)+r(ββ
T
) (利用r(P+Q)≤r(P)+r(Q) ≤r(α)+r(β) (利用r(PQ)≤min{r(P),r(Q)}) ≤2 (利用矩阵的秩不大于其行数、列数) (Ⅱ)由于α,β线性相关,不妨设α=kβ(k为常数),于是 r(A)=r(αα
T
+ββ
T
)=r[(1+k
2
)ββ
T
] =r(ββ
T
)≤r(β)≤1<2
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/A5w4777K
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考研数学一
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