)设β、β均为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明： (I)秩r(A)≤2；(II)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

admin2016-04-11 88

问题 )设β、β均为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置．证明：
(I)秩r(A)≤2；(II)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

选项

答案(I)r(A)=r(αα^T+ββ^T) ≤r(αα^T)+r(ββ^T) (利用r(P+Q)≤r(P)+r(Q) ≤r(α)+r(β) (利用r(PQ)≤min{r(P)，r(Q)}) ≤2 (利用矩阵的秩不大于其行数、列数) (Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ(k为常数)，于是 r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r[(1+k²)ββ^T] =r(ββ^T)≤r(β)≤1＜2

解析

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