根据阿贝尔定理,已知在某点x1(x1≠x0)的敛散性,证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况: (1)若在x1处收敛,则收敛半径R≥|x1一x0|; (2)若在x1处发散,则收敛半径R≤|x1一x0|; (3)若在x1处条件收敛,则收敛半径R=|x1一x

admin2015-08-17  45

问题 根据阿贝尔定理,已知在某点x1(x1≠x0)的敛散性,证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况:
(1)若在x1处收敛,则收敛半径R≥|x1一x0|;
(2)若在x1处发散,则收敛半径R≤|x1一x0|;
(3)若在x1处条件收敛,则收敛半径R=|x1一x0|.

选项

答案根据阿贝尔定理,(1)(2)是显然的.对于(3),因幂级数[*]在点x1处收敛,则R≥|x1一x0|;另一方面,因幂级数[*]在点x1处条件收敛,则R≤|x1一x0|.因若不然,则该点是绝对收敛,而不是条件收敛,这与题设矛盾,于是,综合上述两方面得该幂级数的收敛半径R=|x1一x0|.

解析
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