2. 考研
  3. 设A，B为同阶方阵， (I)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(I)的逆命题成立．

设A，B为同阶方阵， (I)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(I)的逆命题成立．

admin2012-06-04  58
问题 设A，B为同阶方阵，
(I)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立．
(Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(I)的逆命题成立．
选项
答案(I)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P－1AP＝B， 故 ｜λE－B｜＝｜λE－P－1AP｜＝｜P－1λEP－P－1AP｜＝｜P－1(AE－A)P｜＝｜P－1｜｜λE－A｜｜P｜＝｜λE－A｜． [*]
解析
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考研数学一

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