设A，B为同阶方阵， (I)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(I)的逆命题成立．

admin2012-06-04 105

问题设A，B为同阶方阵，
(I)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立．
(Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(I)的逆命题成立．

选项

答案(I)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^－1AP＝B，故｜λE－B｜＝｜λE－P^－1AP｜＝｜P^－1λEP－P^－1AP｜＝｜P^－1(AE－A)P｜＝｜P^－1｜｜λE－A｜｜P｜＝｜λE－A｜． [*]

解析

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