假设随机变量X的密度函数f(χ)＝ce－λ｜χ｜(λ＞0，－∞＜χ＜＋∞)，Y＝｜X｜． (Ⅰ)求常数c及EX，DX： (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么? (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?

admin2018-11-23 61

问题假设随机变量X的密度函数f(χ)＝ce^{－λ｜χ｜}(λ＞0，－∞＜χ＜＋∞)，Y＝｜X｜．
(Ⅰ)求常数c及EX，DX：
(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?
(Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?

选项

答案(Ⅰ)由于∫_－∞^＋∞f(χ)dχ＝1，所以c∫_－∞^＋∞e^{－λ｜χ｜}dχ＝2c∫₀^＋∞e^－λχdχ＝[*]＝1，，故c＝[*]．又f(χ)是偶函数，且反常积分∫_－∞^＋∞χf(χ)dχ收敛，所以 EX＝∫_－∞^＋∞χf(χ)dχ＝0， DX＝EX²＝∫_－∞^＋∞χf(χ)dχ＝[*] (Ⅱ)由于f(χ)是偶函数，故EXY＝EX｜X｜＝∫_－∞^＋∞χ｜χ｜f(χ)dχ＝0，而EX＝0，所以EXY＝EX.EY，故X与Y不相关． (Ⅲ)下面我们应用事件关系证明X与Y＝｜X｜不独立．因为 {｜X｜≤1}[*]{X≤1}，又P{｜X｜≤1}＝∫_-1¹f(χ)dχ≠0， P{X≤1}＝∫_－∞¹f(χ)dχ≠1，所以{｜X｜≤1}与{X≤1}不独立(包含关系不独立)，故X与Y＝｜X｜不独立．

解析

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考研数学一

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假设随机变量X的密度函数f(χ)＝ce－λ｜χ｜(λ＞0，－∞＜χ＜＋∞)，Y＝｜X｜． (Ⅰ)求常数c及EX，DX： (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么? (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?

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