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假设随机变量X的密度函数f(χ)=ce-λ|χ|(λ>0,-∞<χ<+∞),Y=|X|. (Ⅰ)求常数c及EX,DX: (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么? (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?
假设随机变量X的密度函数f(χ)=ce-λ|χ|(λ>0,-∞<χ<+∞),Y=|X|. (Ⅰ)求常数c及EX,DX: (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么? (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?
admin
2018-11-23
48
问题
假设随机变量X的密度函数f(χ)=ce
-λ|χ|
(λ>0,-∞<χ<+∞),Y=|X|.
(Ⅰ)求常数c及EX,DX:
(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?
(Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?
选项
答案
(Ⅰ)由于∫
-∞
+∞
f(χ)dχ=1,所以c∫
-∞
+∞
e
-λ|χ|
dχ=2c∫
0
+∞
e
-λχ
dχ=[*]=1,,故c=[*]. 又f(χ)是偶函数,且反常积分∫
-∞
+∞
χf(χ)dχ收敛,所以 EX=∫
-∞
+∞
χf(χ)dχ=0, DX=EX
2
=∫
-∞
+∞
χf(χ)dχ=[*] (Ⅱ)由于f(χ)是偶函数,故EXY=EX|X|=∫
-∞
+∞
χ|χ|f(χ)dχ=0,而EX=0,所以EXY=EX.EY,故X与Y不相关. (Ⅲ)下面我们应用事件关系证明X与Y=|X|不独立.因为 {|X|≤1}[*]{X≤1}, 又P{|X|≤1}=∫
-1
1
f(χ)dχ≠0, P{X≤1}=∫
-∞
1
f(χ)dχ≠1, 所以{|X|≤1}与{X≤1}不独立(包含关系不独立),故X与Y=|X|不独立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/A6M4777K
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考研数学一
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