假设随机变量X的密度函数f(χ)=ce-λ|χ|(λ>0,-∞<χ<+∞),Y=|X|. (Ⅰ)求常数c及EX,DX: (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么? (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?

admin2018-11-23  27

问题 假设随机变量X的密度函数f(χ)=ce-λ|χ|(λ>0,-∞<χ<+∞),Y=|X|.
    (Ⅰ)求常数c及EX,DX:
    (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?
    (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?

选项

答案(Ⅰ)由于∫-∞+∞f(χ)dχ=1,所以c∫-∞+∞e-λ|χ|dχ=2c∫0+∞e-λχdχ=[*]=1,,故c=[*]. 又f(χ)是偶函数,且反常积分∫-∞+∞χf(χ)dχ收敛,所以 EX=∫-∞+∞χf(χ)dχ=0, DX=EX2=∫-∞+∞χf(χ)dχ=[*] (Ⅱ)由于f(χ)是偶函数,故EXY=EX|X|=∫-∞+∞χ|χ|f(χ)dχ=0,而EX=0,所以EXY=EX.EY,故X与Y不相关. (Ⅲ)下面我们应用事件关系证明X与Y=|X|不独立.因为 {|X|≤1}[*]{X≤1}, 又P{|X|≤1}=∫-11f(χ)dχ≠0, P{X≤1}=∫-∞1f(χ)dχ≠1, 所以{|X|≤1}与{X≤1}不独立(包含关系不独立),故X与Y=|X|不独立.

解析
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