2. 考研
  3. 假设随机变量X的密度函数f(χ)＝ce－λ｜χ｜(λ＞0，－∞＜χ＜＋∞)，Y＝｜X｜． (Ⅰ)求常数c及EX，DX： (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么? (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?

假设随机变量X的密度函数f(χ)＝ce－λ｜χ｜(λ＞0，－∞＜χ＜＋∞)，Y＝｜X｜． (Ⅰ)求常数c及EX，DX： (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么? (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?

admin2018-11-23  46
问题 假设随机变量X的密度函数f(χ)＝ce－λ｜χ｜(λ＞0，－∞＜χ＜＋∞)，Y＝｜X｜．
    (Ⅰ)求常数c及EX，DX：
    (Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?
    (Ⅲ)问X与Y是否独寺?为什么?
选项
答案(Ⅰ)由于∫－∞＋∞f(χ)dχ＝1，所以c∫－∞＋∞e－λ｜χ｜dχ＝2c∫0＋∞e－λχdχ＝[*]＝1，，故c＝[*]． 又f(χ)是偶函数，且反常积分∫－∞＋∞χf(χ)dχ收敛，所以 EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝0， DX＝EX2＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝[*] (Ⅱ)由于f(χ)是偶函数，故EXY＝EX｜X｜＝∫－∞＋∞χ｜χ｜f(χ)dχ＝0，而EX＝0，所以EXY＝EX.EY，故X与Y不相关． (Ⅲ)下面我们应用事件关系证明X与Y＝｜X｜不独立．因为 {｜X｜≤1}[*]{X≤1}， 又P{｜X｜≤1}＝∫-11f(χ)dχ≠0， P{X≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ≠1， 所以{｜X｜≤1}与{X≤1}不独立(包含关系不独立)，故X与Y＝｜X｜不独立．
解析
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考研数学一

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