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设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=
admin
2016-09-30
51
问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
b
f(x)dx=
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x
0
=[*],由泰勒公式得 F(a)一F(x
0
)+F’(x
0
)(a一x
0
)+[*](a一x
0
)
3
,ξ
1
∈(a,x
0
), F(b)一F(x
0
)+F’(x
0
)(6一x
0
)+[*](b一x
0
)
3
,ξ
2
∈(x
0
,b), 两式相减得F(b)一F(a)=F’(x
0
)(b一a)+[*][F"’(ξ
1
)+F"’(ξ
2
)],即 ∫
a
b
f(x)dx=(b一a)[*][f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)], 因为f"(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得 f"(ξ)=[*][f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)],从而 ∫
a
b
f(x)dx=(b一a) [*]
解析
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0
考研数学三
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