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  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=

设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=

admin2016-09-30  77
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=
选项
答案令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=[*]，由泰勒公式得 F(a)一F(x0)+F’(x0)(a一x0)+[*](a一x0)3，ξ1∈(a，x0)， F(b)一F(x0)+F’(x0)(6一x0)+[*](b一x0)3，ξ2∈(x0，b)， 两式相减得F(b)一F(a)=F’(x0)(b一a)+[*][F"’(ξ1)+F"’(ξ2)]，即 ∫abf(x)dx=(b一a)[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]， 因为f"(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得 f"(ξ)=[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]，从而 ∫abf(x)dx=(b一a) [*]
解析
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考研数学三

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